Question

16．已知复数$z=\frac{{{m^2}-m-6}}{m+3}+（{m^2}+5m+6）i$
（1）m取什么值时，z是实数？
（2）m 取什么值时，z是纯虚数？

Answer 1

分析 根据复数的概念，建立方程或不等式关系即可．

解答 解：（1）由z是实数得 $\left\{\begin{array}{l}{m≠-3}\\{{m}^{2}+5m+6=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≠-3}\\{m=-2或m=-3}\end{array}\right.$，…（3分）
即m=-2，…（5分）
∴当m=-2时，z为实数；…（6分）
（2）由z是纯虚数得 $\left\{\begin{array}{l}{m+3≠0}\\{{m}^{2}+5m+6≠0}\\{{m}^{2}-m-6=0}\end{array}\right.$，…（9分）
即$\left\{\begin{array}{l}{m≠-3}\\{m≠-2且m≠-3}\\{m=3或m=-2}\end{array}\right.$，解得m=3；…（11分）
∴当m=3时，z为纯虚数．…（12分）

点评 本题主要考查复数的有关概念，根据相关概念建立条件关系是解决本题的关键．