Question

2．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x₁）=f （$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；         
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂，得f（1）=0．
（2）根据单调性的定义证明即可，
（3）先求出f（9）=-2，再根据函数为减函数，即可得到$\left\{\begin{array}{l}{|x|＞9}\\{|x|＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂，得f（1）=0．
（2）设任意的x₁，x₂＞0，且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
又x＞1时，f（x）＜0，
∴由$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，得f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）由f（3）=-1，f（1）=0，得f（$\frac{1}{3}$）=f（1）-f（3）=1，
∴f（9）=f（$\frac{3}{\frac{1}{3}}$）=f（3）-f（$\frac{1}{3}$）=-2．
∴f（|x|）＜-2=f（9）可化为$\left\{\begin{array}{l}{|x|＞9}\\{|x|＞0}\end{array}\right.$
解得x＞9或x＜-9．

点评 本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数单调性的方法，反复给x₁和x₂值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，属于中档题．