Question

20．设a，b∈R，满足3a-b+ab=4，则|3a+b-3|的最小值是2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 由题意可得b=$\frac{4-3a}{a-1}$，则|3a+b-3|=|3a+$\frac{4-3a}{a-1}$-3|=|$\frac{3{a}^{2}-9a+7}{a-1}$|=|3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$-3|，讨论a-1＞0，a-1＜0，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：3a-b+ab=4可得：
b=$\frac{4-3a}{a-1}$，
则|3a+b-3|=|3a+$\frac{4-3a}{a-1}$-3|
=|$\frac{3{a}^{2}-9a+7}{a-1}$|=|3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$-3|，
当a-1＞0时，3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$≥2$\sqrt{3（a-1）•\frac{1}{a-1}}$=2$\sqrt{3}$，
即有3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$-3|≥2$\sqrt{3}$-3，
当且仅当a=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取得最小值2$\sqrt{3}$-3；
当a-1＜0，3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$≤-2$\sqrt{3}$，
即有|3（a-1）+$\frac{1}{a-1}$-3|≥3+2$\sqrt{3}$．
综上可得，所求最小值为2$\sqrt{3}$-3．
故答案为：2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查最值的求法，注意运用代入法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．