Question

设f（x）=|log_mx|，其中m＞0，m≠1，已知0＜a＜b，且满足f（a）=f（b）
（1）求证：a•b=1；
（2）比较

a+b

2

与1的大小；
（3）试问当m＞1时，关于b的方程f（b）=2f（

a+b

2

）是否在（3，4）内有解？

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数零点的判定定理,函数的零点与方程根的关系,不等式比较大小

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用m与1和0的大小，画出函数的图象然后证明a•b=1；
（2）利用（1）ab=1，化简

a+b

2

，构造函数φ（b）=

1

b

+b，（b＞0，b≠1）利用函数的单调性求出函数的最小值然后与1比较大小；
（3）试问当m＞1时，关于b的方程f（b）=2f（

a+b

2

），利用（2）函数的单调性以及函数的零点判定定理判断函数在（3，4）内有解的问题．

解答： 解：（1）当m＞1时，结合函数图象，由f（a）=f（b）可判断a∈（0，1），b∈（1，+∞），
从而-log_ma=log_mb，从而log_mab=0，故ab=1．
0＜m＜1时，同理有ab=1．（没讨论扣1分） …（4分）
（2）由（1）知

a+b

2

=

1 b +b

2

，
令φ（b）=

1

b

+b，（b＞0，b≠1）
在（1，+∞）上任取b₁，b₂且1＜b₁＜b₂，
∵φ（b₁）-φ（b₂）=

1

b1

+b1-(

1

b2

+b2)
=(

1

b1

-

1

b2

)+(b1-b2)=

b2-b1

b1b2

+（b₁-b₂）
=

(b1-b2)(b1b2-1)

b1b2

＜0，
∴φ（b₁）＜φ（b₂），∴φ（b）在（1，+∞）上为增函数，
∴φ（b）＞φ（1）=2．所以

a+b

2

＞1．…（9分）
（3）由前知m＞1时b＞1，

a+b

2

＞1，．∵f（b）=2f(

a+b

2

)，
∴log_mb=2log_m

a+b

2

=log_m²，
∴b=(

a+b

2

)2，
得4b=a²+b²+2ab，（ab=1）

1

b2

+b²+2-4b=0．
令h（b）=

1

b2

+b²+2-4b，
因为h（3）＜0，h（4）＞0，
根据函数零点存在性定理可知，
函数h（b）在（3，4）内一定存在零点，
即关于b的方程f（b）=2f(

a+b

2

)在（3，4）内有解．…（14分）

点评：本题考查函数的综合应用，构造法以及函数的单调性以及最值的求法，函数的零点的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．