Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 右顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且CF1⊥x轴．

（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）连结CF2并延长交椭圆于另一点D若 ≤e≤ ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：椭圆 =1（a＞b＞0）的焦距为2c，

由CF1⊥x轴．则C（﹣c，y0），y0＞0，

由C在椭圆上，则y0= ，则C（﹣c， ），

由OC∥AB，则﹣ =kOC=kAB=﹣ ，则b=c，

e= = = ，

e的值

（2）

解：设D（x1，y1），设 =λ ，

C（﹣c， ），F2（c，0），

故 =（2c，﹣ ）， =（x1﹣c，y1），

由 =λ ，则2c=λ（x1﹣c），﹣ =λy1，则D（ c，﹣ ），

由点D在椭圆上，则（ ）2e2+ =1，整理得：（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，

由λ＞0，e2= = =1﹣ ，

由 ≤e≤ ，则 ≤e2≤ ，则 ≤1﹣ ≤ ，

解得： ≤λ≤5，

∴ 的取值范围[ ，5]

【解析】（1）由CF1⊥x轴．则C（﹣c， ），根据直线的斜率相等，即可求得b=c，利用离心率公式即可求得e的值；（2）根据向量的坐标运算，求得D点坐标，代入椭圆方程，求得e2= =1﹣ ，由离心率的取值范围，即可求得λ的取值范围．