Question

已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

考点：不等式的证明,函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义可得f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，从而可得a的值；
（Ⅱ）利用重要不等式p²+q²≥2pq，p²+r²≥2pr，q²+r²≥2qr，可得3（p²+q²+r²）≥p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）²=3²=9，于是可证的结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴f（x）_min=3，即a=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=3，
因为p²+q²≥2pq，p²+r²≥2pr，q²+r²≥2qr，
∴2（p²+q²+r²）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p²+q²+r²）≥p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）²=3²=9，
∴p²+q²+r²≥3．

点评：本题考查绝对值不等式的性质及应用，着重考查重要不等式的应用，考查推理证明的能力，考查转化思想．