Question

6．已知lgx+lgy+lgz=0，求证：$\frac{1}{{x}^{2}（y+z）}$+$\frac{1}{{y}^{2}（x+z）}$+$\frac{1}{{z}^{2}（x+y）}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由lgx+lgy+lgz=0，可得xyz=1，代入、换元，利用基本不等式即可证明结论．

解答 证明：∵lgx+lgy+lgz=0，
∴lgxyz=0，
∴xyz=1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}（y+z）}$+$\frac{1}{{y}^{2}（x+z）}$+$\frac{1}{{z}^{2}（x+y）}$=$\frac{yz}{xy+xz}$+$\frac{xz}{xy+yz}$+$\frac{xy}{xz+yz}$，
设xy+xz=a，xy+yz=b，xz+yz=c，则yz=$\frac{1}{2}$（b+c-a），xz=$\frac{1}{2}$（a+c-b），xy=$\frac{1}{2}$（a+b-c），
∴$\frac{yz}{xy+xz}$+$\frac{xz}{xy+yz}$+$\frac{xy}{xz+yz}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$-1+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$-1+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）≥$\frac{1}{2}$（2+2+2-3）=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}^{2}（y+z）}$+$\frac{1}{{y}^{2}（x+z）}$+$\frac{1}{{z}^{2}（x+y）}$≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．