Question

已知函数f（x）=|log₂x|，当0＜m＜n时，有f（n）=f（m）=2f（

m+n

2

）．
（1）求mn的值；
（2）求证：1＜（n-2）²＜2．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得，-log₂m=log₂n，化简可得 mn=1，
（2）先根据均值定理得

m

2

+

n

2

＞1，由题意(

m

2

+

n

2

)²=n，化简，再根据mn=1，得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=|log₂x|，当0＜m＜n时，有f（n）=f（m），
∴-log₂m=log₂n，
∴log₂mn=0，
∴mn=1，
（2）根据均值定理得

m

2

+

n

2

＞1，
∵f（n）=f（m）=2f（

m+n

2

）．
∴2f（

m+n

2

）=2log₂

m+n

2

=log₂(

m+n

2

)2=log₂n，
∴(

m

2

+

n

2

)²=n，
∴m²+n²+2mn=4n，
即 n²-4n=-m²-2，
∴（n-2）²＜2-m²，
∵0＜m＜1，
∴0＜m²＜1，
∴1＜2-m²＜2，
即1＜（n-2）²＜2．

点评：本题主要考查了对数的运算性质和不等式的证明，属于中档题．