Question

5．如图，圆柱底面直径为10，母线BB₁=6，矩形ABCD内接于圆柱的下底面，BC=6，求直线DB₁与BC所成角的大小．（结果用反三角函教值表示）

Answer 1

分析 以B为坐标原点，BC，BA，BB₁方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，分别求出直线DB₁与BC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答 解：∵圆柱底面直径为10，即BD=10，BC=6，故AB=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8，
以B为坐标原点，BC，BA，BB₁方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，
由母线BB₁=6，可得：B（0，0，0），C（6，0，0），D（6，8，0），B₁（0，0，6），
∴$\overrightarrow{{DB}_{1}}$=（-6，-8，6），$\overrightarrow{BC}$=（6，0，0），
设直线DB₁与BC所成角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{DB}_{1}}•\overrightarrow{BC}|}{\left|\overrightarrow{{DB}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|}$=$\frac{36}{24\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{68}$，
故直线DB₁与BC所成角的大小为arccos$\frac{3\sqrt{34}}{68}$

点评 本题考查的知识点是异面直线所成的角，建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量夹角，是解答的关键．