Question

3．已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直，若向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞=α，|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{5}$，|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{2}$，则|${\overrightarrow b}$|=1．

Answer 1

分析 根据倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直，得到tanα=2，再根据向量的数量积和模即可求出．

解答 解：倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直，
∴tanα=2，
∴$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∵|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|²=|${\overrightarrow a$|²+|$\overrightarrow b}$|²+2${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$=|${\overrightarrow a$|²+|$\overrightarrow b}$|²+2|${\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b}$|•cosα=8，
∴${|{\overrightarrow b}|^2}+2|{\overrightarrow b}|-3=0$，
解得$|{\overrightarrow b}|=1$．
故答案为：1．

点评 本题考查了向量的数量积和向量的模，以及直线的倾斜率问题，属于基础题．