Question

11．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．若有λ∈（7，16），则在正方形的四条边上，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立的点P有（　　）个．

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 0

Answer 1

分析 由题意可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2，分类讨论P点的位置，分别求得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的范围，从而得出结论

解答 解：由正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF，
可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2．
若P在AB上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AE}）（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BF}）=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}∈[-5，4]$；
若P在CD上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}）（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CF}）=\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CF}∈[7，16]$；
若P在AE上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PE•（}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}）=\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BF}∈[0，4]$；
同理，P在BF上时也有$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[0，4]$；
若P在DE上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PE•（}\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}）=\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{CF}∈[0，16]$；
同理，P在CF上时也有$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[0，16]$，
所以，综上可知当λ∈（7，16）时，有且只有4个不同的点P使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立．
故选：B

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，属于中档题．