Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+1）S_n=2n²+2n（n∈N^*），a₁=3，则数列{a_n}的通项a_n=4n-1．

Answer 1

分析 由题意得到数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以3为首项，以2为公差的等差数列，得到S_n=n（2n+1）=2n²+n，即可得到S_n-1=2n²-4n+n+1，而a_n=S_n-S_n-1，问题得以解决．

解答 解：∵nS_n+1-（n+1）S_n=2n²+2n=2n（n+1），
∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=2，
∵a₁=3，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=3，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=n（2n+1）=2n²+n
∴S_n-1=（n-1）（2n-1）=2n²-4n+n+1
∴a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
当n=1时，成立，
故a_n=4n-1，
故答案为：4n-1

点评 本题考查了数列的递推公式和通项公式的求法，属于中档题．