Question

15．已知数列{a_n}的首项为1，等比数列{b_n}满足${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且b₁₀₀₈=1，则a₂₀₁₆的值为1．

Answer 1

分析 由已知结合${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，得到a₂₀₁₆=b₁b₂…b₂₀₁₅=（b₁b₂₀₁₅）•（b₂b₂₀₁₄）…（b₁₀₀₇b₁₀₀₉）•b₁₀₀₈，结合b₁₀₀₈=1，以及等比数列的性质求得答案．

解答 解：${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，∴a₃=a₂b₂=b₁b₂，
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，∴a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃，
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₀₁₆=b₁b₂…b₂₀₁₅=（b₁b₂₀₁₅）•（b₂b₂₀₁₄）…（b₁₀₀₇b₁₀₀₉）•b₁₀₀₈，
∵b₁₀₀₈=1，
∴b₁b₂₀₁₅=b₂b₂₀₁₄=…=b₁₀₀₇b₁₀₀₉=（b₁₀₀₈）²=1，
∴a₂₀₁₆=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．