Question

7．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{x-1}，x≤0}\\{-{x^2}+6x-5，x＞0}\end{array}}\right.$，若函数y=f[f（x）-a]有6个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -4≤a≤1
• B． -5≤a≤-4
• C． 0≤a≤1
• D． -5≤a≤-1

Answer 1

分析 先求出f（x）的零点，然后求出f（x）-a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．

解答 解：当x≤0时，由f（x）=0得$\frac{x}{x-1}$=0，得x=0，
当x＞0时，由f（x）=0得-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，
由，y=f[f（x）-a]=0得f（x）-a=0或f（x）-a=1，或f（x）-a=5，
即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，
作出函数f（x）的图象如图：
若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根，不满足条件．排除A，C，
若a=-1，则f（x）=-1有2个根，f（x）=0有3个根，f（x）=4有1个根，此时共有6个根，满足条件．排除B，
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．本题由于难度较大，使用特殊值法和排除法是解决本题的技巧．