Question

19．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，$\frac{cosA-cosC}{cosB}$=$\frac{sinC-sinA}{sinB}$
（Ⅰ）求$\frac{c}{a}$的值；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{2}{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{5}}{6}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知式子和和差角的三角函数公式可得sinC=sinA，再由正弦定理可得$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=1；
（Ⅱ）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，代入数据可得b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，再由三角形的面积公式可得a值，可得b值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中$\frac{cosA-cosC}{cosB}$=$\frac{sinC-sinA}{sinB}$，
∴cosAsinB-cosCsinB=sinCcosB-sinAcosB，
∴cosAsinB+sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（A+B）=sin（B+C）即sinC=sinA，
由正弦定理可得$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c=a，又cosB=$\frac{2}{3}$，
∴由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代入数据可得b²=2a²-2a•a•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$a²，即b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
再由三角形的面积公式可得S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴a=1，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数和三角形的面积公式，属中档题．