Question

8．在△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比数列，b=2，则a+c（　　）

• A． 有最小值4
• B． 有最大值4
• C． 有最小值2
• D． 有最大值2

Answer 1

分析 由已知及等比数列的性质可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得：b²=ac=4，利用余弦定理，可得（a+c）²=8cosB+12，根据余弦定理，基本不等式可求cosB≥$\frac{1}{2}$，从而可求a+c有最小值4．

解答 解：∵sinA，sinB，sinC成等比数列，可得：sin²B=sinAsinC，b=2，
∴由正弦定理可得：b²=ac=4，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{8}$，整理可得：a²+c²-4=8cosB，
∴（a+c）²=8cosB+12，
又∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴（a+c）²=8cosB+12≥16，
∴a+c≥4，即a+c有最小值4．
故选：A．

点评 本题主要考查了等比数列的性质，正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．