Question

17．已知在数列{a_n}中，a₁=$\frac{4}{5}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}∈[0，\frac{1}{2}]}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，则a₂₀₁₅等于（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式分段依次求出数列的前几项，得到数列的周期，则答案可求．

解答 解：由a₁=$\frac{4}{5}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}∈[0，\frac{1}{2}]}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，得
${a}_{2}=2{a}_{1}-1=2×\frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$，${a}_{3}=2{a}_{2}-1=2×\frac{3}{5}-1=\frac{1}{5}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}=2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$，${a}_{5}=2{a}_{4}=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，…
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
则${a}_{2015}={a}_{4×503+3}={a}_{3}=\frac{1}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对数列周期的发现，是中档题．