Question

20．已知y=$\sqrt{{log}_{2}（x-1）-1}$的定义域为A，求函数y=${log}_{3}\frac{x}{9}{•log}_{3}\frac{x}{27}$，x∈A的值域．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，再根据二次函数的性质即可求出最值．

解答 解：要使y=$\sqrt{{log}_{2}（x-1）-1}$有意义，
∴log₂（x-1）-1≥0，
即log₂（x-1）≥log₂2，
∴x-1≥2，即x≥3，
∴A=[3，+∞），
∴log₃x≥log₃3=1，
∴y=${log}_{3}\frac{x}{9}{•log}_{3}\frac{x}{27}$=（log₃x-2）（log₃x-3）=log₃²x-5log₃x+6，
当log₃x=$\frac{5}{2}$时，y取到最小值，则y_min=$\frac{25}{4}$-$\frac{25}{2}$+6=-$\frac{1}{4}$，
故函数的值域为[-$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 考查对数的运算，配方法求函数的值域，以及对数函数的单调性．