Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sinωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由此根据周期为π求得ω的值．根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sinωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx=sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
列表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
sin（2x+$\frac{π}{3}$）	0	1	0	-1	0

描点得图象：

（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基础题．