Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA-ccosB=bcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若$AD=\frac{1}{2}a$，求$\frac{b}{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（Ⅱ）由三角形的面积公式和余弦定理列出方程，化简后把$\frac{b}{c}$作为一个整体求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵atanA-ccosB=bcosC，
∴由正弦定理得，sinAtanA-sinCccosB=sinBcosC，
sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin（B+C），
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，则sinAtanA=sinA，
又sinA≠0，则tanA=1，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）又sinA≠0，则tanA=1，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵AD是BC边上的高，且$AD=\frac{1}{2}a$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}bcsinA$，则${a}^{2}=\sqrt{2}bc$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化简得${b}^{2}+{c}^{2}-2\sqrt{2}bc=0$，
两边同除c²可得，$（\frac{b}{c}）^{2}-2\sqrt{2}•\frac{b}{c}+1=0$，
解得$\frac{b}{c}=\sqrt{2}±1$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，考查化简、变形能力，属于中档题．