Question

已知m为实常数．命题p：方程

x2

2m

-

y2

m-6

=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程

x2

m+1

+

y2

m-1

=1表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求m的取值范围；
（3）若命题p或q为真命题，且命题p且q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

（1）据椭圆的标准方程可得：
命题p为真命题时，-（m-6）＞2m＞0，
解之得0＜m＜2；
故命题p为真命题时m的取值范围为（0，2）；…（4分）
（2）根据双曲线的标准方程，
若命题q为真命题，则（m+1）（m-1）＜0，
解得-1＜m＜1，
故命题q为假命题时m的取值范围（-∞，-1]∪[1，+∞）；…（9分）
（3）由题意，命题p与q一真一假，
当p真q假时有

0＜m＜2 m≤-1，或m≥1

解得1≤m＜2
当p假q真时有

-1＜m＜1 m≤0，或m≥2

解得-1＜m≤0
综上m的取值范围是（-1，0]∪[1，2）．…（14分）