Question

（A题）如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点必在直线A₁D₁上其中真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

①∵BC₁∥AD₁，BC₁?平面ACD₁，而AD₁?平面ACD₁，∴BC₁∥平面ACD₁．因此P在直线BC₁上运动时，点P到平面ACD₁的距离不变，三棱锥P-ACD₁即A-D₁PC的体积不变，正确；
②P在直线BC₁上运动时，二面角BC₁-AD₁-C大小不变，即二面角P-AD₁-C的大小不变，正确；
③由①可知：P在直线BC₁上运动时，点P到平面ACD₁的距离h不变，而AP随着点P的变化而变化，设AP与平面ACD₁所成的角为θ，
则sinθ=

h

AP

随着AP的改变而改变，因此不正确；
④距离如图所示的空间直角坐标系，设M（x，y，0），不妨设D₁A₁=1，则C₁（0，1，0），D（0，0，1）．
∵|MD|=|MC₁|，∴

x2+y2+1

=

x2+(y-1)2

，解得y=0．
∴点M（x，0，0）．
则M点必在直线A₁D₁上．因此正确．
综上可知：正确命题是①②④．
故答案为①②④．