Question

19．如图，在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，CC₁丄底面ABC，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，CC₁=4，M是棱CC₁上一点
（1）求证：BC⊥AM
（2）若二面角A-MB₁-C的大小为$\frac{π}{4}$，求CM的长度．

Answer 1

分析 （1）推导出CC₁⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能证明BC⊥AM．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM．

解答 证明：（1）∵在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，CC₁丄底面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵CC₁∩AC=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设CM=t，则A（2，0，0），M（0，0，t），B₁（0，2，4），C（0，0，0），
$\overrightarrow{MA}$=（2，0，-t），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（0，2，4-t），$\overrightarrow{MC}$=（0，0，-t），
设平面MAB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}=2x-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{B}_{1}}=2y+（4-t）z=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（t，t-4，2），
平面MB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角A-MB₁-C的大小为$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+（t-4）^{2}+4}}$，
解得t=$\frac{5}{2}$．
∴CM=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．