Question

10．已知f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）对称轴和对称中心；
（3）f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式及辅助角公式，将f（x）转化为f（x）=$5sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，利用周期公式，即可求得f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的对称轴和对称中心即可求得f（x）对称轴和对称中心；
（3）由x的取值范围求得2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，根据正弦函数单调性即可求得f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的单调性．

解答 解：（1）$f（x）=5sinxcosx-5\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$，
=$\frac{5}{2}$sin2x-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（2cos²x-1），
=$\frac{5}{2}$sin2x-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cos2x，
=$5sin（{2x-\frac{π}{3}}）$…（2分）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π； …（4分）
（2）正弦函数的对称轴为2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
正弦函数的对称中心为：（2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，0），k∈Z，
∴f（x）对称轴$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，对称中心为$（\frac{5π}{6}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$；…（6分）
（3）当$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$时，有$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，从而
当$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$时，即$\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$时，f（x）单调递增，
当$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π$时，即$\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}$时，f（x）单调递减，
综上可知，f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上单调递增；f（x）在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上单调递减．…（10分）

点评 本题考查正弦函数的性质，考查二倍角公式及辅助角公式，考查学生对基础知识的综合应用，属于中档题．