Question

20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点A（3，0），点B为圆C上的一动点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值，并求此时直线OB被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，求半径，写出圆的方程；
（2）利用参数法写出点B的坐标，通过$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值求出点B的坐标，利用几何法直线OB被圆C截得的弦长即可．

解答 解：（1）曲线y=x²-6x+1与y轴的交点为M（0，1），
与x轴的交点为N（3+2$\sqrt{2}$，0），P（3-2$\sqrt{2}$，0）．
可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），
则有3²+（t-1）²=（2$\sqrt{2}$）²+t²，解得t=1，
故圆C的半径为$\sqrt{{3}^{2}{+（t-1）}^{2}}$，
所以圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
（Ⅱ）由圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9，
设B（3+3cosθ，1+3sinθ），θ∈[0，2π）；
又A（3，0），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=3（3+3cosθ）=9+9cosθ，
所以θ=0时，cosθ=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最大值，
此时B（6，1），
所以直线OB的方程为y=$\frac{1}{6}$x，即x-6y=0；
则圆心C（3，1）到直线OB的距离为
d=$\frac{|1×3-6×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-6）}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{37}}$，
所以弦长l=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{9-\frac{9}{37}}$=$\frac{36\sqrt{37}}{37}$，
故直线OB被圆C截得的弦长为$\frac{36\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$．

点评 本题考查了求圆的方程的应用问题，也考查了直线与圆的相交问题以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．