Question

15．如图，已知长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（ I）求证：AD⊥BM；
（ II）若点E是线段DB上的一动点，当二面角E-AM-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （I）推导出AM⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．
（II）以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过O作OA的垂线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE的长．

解答 （本题满分12分）
证明：（I）∵长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为CD的中点，
AM=BM=2，
∴AM⊥BM，
又$\left\{\begin{array}{l}平面ADM⊥平面ABCM\\ 平面ADM∩平面ABCM=AM\\ BM?平面ABCM\end{array}\right.$
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM．
解：（II）以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过O作OA的垂线为y轴，OD为z轴，
建立如图所示的O-xyz直角坐标系，
则A（1，0，0），B（-1，2，0），D（0，0，1），M（-1，0，0）
平面AMD的一个法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+λ\overrightarrow{DB}=（1-λ，2λ，1-λ）$，$\overrightarrow{AM}=（-2，0，0）$，
设平面AME的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2λy+（1-λ）z=0\end{array}\right.$，
取y=1，得$x=0，y=1，z=\frac{2λ}{1-λ}$，得$\overrightarrow m=（0，1，\frac{2λ}{1-λ}）$，而$\overrightarrow n=（0，1，0）$
∵二面角E-AM-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overline n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{{\sqrt{1+{{（\frac{2λ}{1-λ}）}^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
得$1+{（\frac{2λ}{1-λ}）^2}=2$，解得$λ=\frac{1}{3}$
因为$|BD|=\sqrt{6}$，故$|DE|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．