Question

4．在平面直角坐标系xOy 中，圆O的方程为x²+y²=1，A（-2，0），对圆O上的任意一点P，存在一定点B（b，0）（b≠-2）和常数λ，都有PA=λPB成立，则b+λ的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，由PA=λPB，得$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=λ\sqrt{（{x}_{0}-b）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，由此能求出b+λ．

解答 解：设P（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，
∵A（-2，0），B（b，0），b≠-2，∴PA=$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，PB=$\sqrt{（{x}_{0}-b）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，
∵PA=λPB，∴$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=λ\sqrt{（{x}_{0}-b）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，
整理，得：${x}_{0}（2b{λ}^{2}+4）+（5-{λ}^{2}-{λ}^{2}{b}^{2}）=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b{λ}^{2}+4=0}\\{5-{λ}^{2}-{λ}^{2}{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b{λ}^{2}=-2}\\{5-{λ}^{2}+2b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}=5+2b}\\{2{b}^{2}+5b+2=0}\end{array}\right.$，由b≠-2，解得b=-$\frac{1}{2}$，λ=2，（舍去λ=-2），
∴b+λ=-$\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查代数式求和，考查圆、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．