Question

在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于

1

2

；
④曲线W上的点到原点距离的最小值为2-

2

其中，所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．

解答： 解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=

(x-1)2+(y-1)2

，
∴|xy|+x+y-1=0，
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y-1）（1-x）=0，
函数的图象如图所示
∴曲线W关于直线y=x对称；
曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于

1

2

；
由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=

2

-1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为

2

（

2

-1）=2-

2

，
∴所有正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．