Question

偶函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（-∞，0）上是减函数，f（6）=0，设g（θ）=2cos²θ+msinθ-

17

4

m，当g（θ）＜0且f[g（θ）]＞0恒成立时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意可知，问题可转化为g（θ）＜-6对任意的θ恒成立，然后分离参数m，问题转化为三角函数的最值问题．

解答： 解：因为偶函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（-∞，0）上是减函数，f（6）=0，
所以f（-6）=f（6）=0．
所以若g（θ）＜0且f[g（θ）]＞0恒成立，则只需g（θ）＜-6对任意的θ恒成立即可．
即2cos²θ+msinθ-

17

4

m＜-6对任意的角θ恒成立．
即2-2sin2θ+msinθ-

17

4

m＜-6对θ∈R恒成立．
整理得m＞

2sin2θ-8

sinθ- 17 4

=-[(

17

4

-sinθ)+

25×9 8

17 4 -sinθ

-17]恒成立．
令t=

17

4

-sinθ∈[

13

4

，

21

4

]．
则原式化为m＞-[t+

25×9 8

t

-17]，t∈[

13

4

，

21

4

]①．
令y=t+

25×9 8

t

，易知该函数在（0，

15 2

4

）上递减，且

15 2

4

＞

21

4

，
所以y=t+

25×9 8

t

在[

13

4

，

21

4

]上递减．
所以t=

21

4

时，y_min=-

285

28

．
所以要使①式恒成立，只需m＞

285

28

．
即m的取值范围是(

285

28

，+∞)．

点评：本题考查了不等式恒成立问题的解题思路，三角函数的最值问题的处理方法，要注意换元思想的应用．