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已知函f(x)=x3+ax2+bx+5,若x=
2
3
,y=f(x)有极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.
(3)函数y=f(x)-m有三个零点,求实数m的取值范围.
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,…(1分)
由题意,得
f′(
2
3
)=3×(
2
3
)
2
+2a×
2
3
+b=0
f′(1)=3×12+2a×1+b=3
,解得
a=2
b=-4

所以,f(x)=x3+2x2-4x+5,…(4分)
(2)由(1)知f(x)=3x3+4x-4=(x+2)(3x-2),
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=
2
3
;…(5分)
x-4(-4,-2)-2(-2,
2
3
2
3
2
3
,1)
1
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
函数值-1113
95
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4
…(8分)
∴f(x)在[-4,-1]上的最大值为13,最小值为-11.…(9分)
(3)∵函数y=f(x)-m有三个零点,即f(x)=m,有三个交点,
可得f(x)的图象:如下图:

由上图y=m与函数f(x)有三个交点,
∴4<m<13,-11<m<
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,此时y=m与f(x)交于三点;
∴4<m<13 或-11<m<
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练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=lnx-
a
x

(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求a的值;
(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ax-lnx,g(x)=
lnx
x
,它们的定义域都是(0,e],其中e≈2.718,a∈R
( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],求证:f(x1)>g(x2)+
17
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( III)令h(x)=f(x)-g(x)•x,问是否存在实数a使得h(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=九x2+lnx.
(Ⅰ)当九=-1时,求函数y=f(x)的7象在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)已知九<0,若函数y=f(x)的7象总在直线y=-
1
2
的下方,求九的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

函数f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c为常数)的图象过原点,且对任意x∈R总有f(x)≤f(
π
3
)
成立;
(1)若f(x)的最大值等于1,求f(x)的解析式;
(2)试比较f(
b
a
)
f(
c
a
)
的大小关系.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-
1
2
相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在[
1
e
,e]上的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a>0)

(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

(    )
A.B.
C.D.

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