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已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
(1)∵f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0,
∴f′(x)=-ax+1-
1
1+x
=
-ax2-(a-1)x
x+1
,其中x∈(-1,+∞);
∵f′(3)=0,即-9a-3(a-1)=0,解得a=
1
4

∴a的值是a=
1
4

(2)令f′(x)=0,得
-ax2-(a-1)x
x+1
=0,其中x∈(-1,+∞);
即ax2+(a-1)x=0,解得x1=0,x2=
1
a
-1;
①当0<a<1时,x1<x2,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x(-1,0)0(0,
1
a
-1)
1
a
-1
(
1
a
-1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)f(0)f(
1
a
-1)
∴f(x)的单调增区间是(0,
1
a
-1)
,f(x)的单调减区间是(-1,0),(
1
a
-1,+∞)

②当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞);
③当a>1时,-1<x2<0,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x(-1,
1
a
-1)
1
a
-1
(
1
a
-1,0)
0(0,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)f(
1
a
-1)
f(0)
∴f(x)的单调增区间是(
1
a
-1,0)
,f(x)的单调减区间是(-1,
1
a
-1)
,(0,+∞);
综上,当0<a<1时,f(x)的单调增区间是(0,
1
a
-1)
,f(x)的单调减区间是(-1,0),(
1
a
-1,+∞)

当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞);
当a>1,f(x)的单调增区间是(
1
a
-1,0)
.f(x)的单调减区间是(-1,
1
a
-1)
,(0,+∞);
(3)由(2)知,当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(
1
a
-1)
,但f(
1
a
-1)>f(0)=0
,所以0<a<1不合题意;
当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)≤f(0),
∴f(x)在[0,+∞)上的最大值为f(0)=0,符合题意;
∴f(x)在[0,+∞)上的最大值为0时,a的取值范围是{a|a≥1}.
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1
2
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1
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3
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1
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1
e2
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