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已知函数f1(x)=
1
2
x2,f2(x)=alnx(其中a>0).
(Ⅰ)求函数f(x)=f1(x)•f2(x)的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在区间(
1
e
,e)内有两个零点,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当x>0时,1nx+
3
4x2
-
1
ex
>0.(说明:e是自然对数的底数,e=2.71828…)
解析(Ⅰ)f(x)=f1(x)•f2(x)=
1
2
x2alnx,
∴f′(x)=axlnx+
1
2
ax=
1
2
ax(2lnx+1),(x>0,a>0),
由f′(x)>0,得x>e
1
2
,由f′(x)<0,得0<x<e
1
2

∴函数f(x)在(0,e
1
2
)上是减函数,在(e
1
2
,+∞)上是增函数,
∴f(x)的极小值为f(e
1
2
)=-
a
4e
,无极大值.
(Ⅱ)函数g(x)=
1
2
x2-alnx+(a-1)x

则g′(x)=x-
a
x
+(a-1)=
x2+(a-1)x-a
x
=
(x+a)(x-1)
x

令g′(x)=0,∵a>0,解得x=1,或x=-a(舍去),
当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减;
当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增.
函数g(x)在区间(
1
e
,e)内有两个零点,
只需
g(
1
e
)>0
g(1)<0
g(e)>0
,即
1
2e2
+
a-1
e
+a>0
1
2
+a-1<0
e2
2
+(a-1)e-a>0
,∴
a>
2e-1
2e2+2e
a<
1
2
a>
2e-e2
2e-2
,解得
2e-1
2e2+2e
<x<
1
2

故实数a的取值范围是(
2e-1
2e2+2e
1
2
).
(Ⅲ)问题等价于x2lnx>
x2
ex
-
3
4

由(I)知,f(x)=x2lnx的最小值为-
1
2e

设h(x)=
x2
ex
-
3
4
,h′(x)=-
x(x-2)
ex
得,函数h(x)在(0,2)上增,在(2,+∞)减,
∴h(x)max=h(2)=
4
e2
-
3
4

因-
1
2e
-(
4
e2
-
3
4
)=
3e2-2e-16
4e2
=
(3e-8)(e+2)
4e2
>0,
∴f(x)min>h(x)max
∴x2lnx>
x2
ex
-
3
4
,∴lnx-(
1
ex
-
3
4x2
)>0,
∴lnx+
3
4x2
-
1
ex
>0.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2-bx
(a,b∈R),若y=f(x)图象上的点(1,
11
3
)处的切线斜率为-4,求y=f(x)在区间[-3,6]上的最值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

函数f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c为常数)的图象过原点,且对任意x∈R总有f(x)≤f(
π
3
)
成立;
(1)若f(x)的最大值等于1,求f(x)的解析式;
(2)试比较f(
b
a
)
f(
c
a
)
的大小关系.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a>0)

(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[
1
e
,e]
,使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
(2a-1)x2+[a2-a-f′(a)]x+b,(a,b∈
R)
(1)求f′(a)的值;
(2)若对任意的a∈[0,1],函数f(x)在x∈[0,1]上的最小值恒大于1,求b的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

曲线与直线所围成的封闭图形的面积为(  )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

等于( )
A.B.C.D.

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