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已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
(1)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞),f′(x)=
2(x2-1)
x
>0

(2)f′(x)=
2x2+a
x
(x>0)
,当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥-2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 
若-2e2<a<-2,当x=
-a
2
时,f'(x)=0;
1≤x<
-a
2
时,f'(x)<0,此时f(x)是减函数;
-a
2
<x≤e
时,f'(x)>0,此时f(x)是增函数.
故[f(x)]min=f(
-a
2
)
=
a
2
ln(-
a
2
)-
a
2

若a≤-2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2
综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)
的最小值为
a
2
ln(-
a
2
)-
a
2
,相应的x值为
-a
2
;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2
相应的x值为e.
(3)不等式f(x)≤(a+2)x,可化为a(x-lnx)≥x2-2x.
∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时取,所以lnx<x,即x-lnx>0,
因而a≥
x2-2x
x-lnx
(x∈[1,e])
g(x)=
x2-2x
x-lnx
(x∈[1,e]),又g′(x)=
(x-1)(x+2-2lnx)
(x-lnx)2

当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,
从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数,
故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以a的取值范围是[-1,+∞).
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1
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9
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1
2
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