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用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,求:扇形的圆心角多大时,容器的容积最大?并求出此时容器的最大容积.
设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么r2+h2=R2
因此,V=
1
3
πr2h

=
1
3
π(R2-h2)h
=
1
3
πR2h-
1
3
πh3(0<h<R)
.…(3分)
V′=
1
3
πR2h2

令V'=0,即
1
3
πR2h2=0
,得 h=
3
3
R
.…(5分)
0<h<
3
3
R
时,V'>0.
3
3
R<h<R
时,V'<0.
所以,h=
3
3
R
时,V取得极大值,并且这个极大值是最大值.…(8分)
h=
3
3
R
代入r2+h2=R2,得 r=
6
3
R

由Rα=2πr,得 α=
2
6
3
π

答:圆心角α为
2
6
3
π
弧度时,漏斗容积最大.…(12分)
练习册系列答案
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1
2

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2(x-1)
x+1
恒成立;
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x1+x2
2
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2

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A.-1B.-3C.-5D.5

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已知函数f(x)=
1
2
x2+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>1时,
1
2
x2+lnx<
2
3
x3

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