精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;
(2)证明:-10≤f(x2)≤-
1
2
(Ⅰ)f'(x)=3x2+6bx+3c,(2分)
依题意知,方程f'(x)=0有两个根x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]
等价于f'(-1)≥0,f'(0)≤0,f'(1)≤0,f'(2)≥0.
由此得b,c满足的约束条件为
c≥2b-1
c≤0
c≤-2b-1
c≥-4b-4
(4分)
满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.(6分)

(Ⅱ)由题设知f'(x2)=3x22+6bx2+3c=0,
bx2=-
1
2
x22
-
1
2
c

f(x2)=
x32
+3b
x22
+3cx2=-
1
2
x32
+
3c
2
x2
.(8分)
由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,
-4+3c≤f(x2)≤-
1
2
+
3
2
c

又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,(10分)
所以-10≤f(x2)≤-
1
2

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=1处取得极值c-4.
(1)求a,b;
(2)设函数y=f(x)为R上的奇函数,求函数f(x)在区间(-2,0)上的极值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=xe-x(x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);
(Ⅲ)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-
ln(-x)
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

f(x)=
ex
1+ax2
,其中a为正实数
(Ⅰ)当a=
4
3
时,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

曲线y=lnx在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是(  )
A.
3
4
B.
4
5
C.
1
4
D.
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如果函数f(x)在x=x0处取得极值,则点(x0,f(x0))称为函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R)的一个极值点恰为坐标系原点,且y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-1=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-2,2]上的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,求:扇形的圆心角多大时,容器的容积最大?并求出此时容器的最大容积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案