Question

在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，

3

)，点，M满足

OM

=

1

2

OA

，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意求得

CM

、

CO

的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜

CO

，

CM

＞=

CO • CM

| CM |•| CM |

，运算求得结果．
（2）设P(t，

3

)，其中1≤t≤5，由(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，得(

OA

-λ

OP

)•

CM

=0，可得（2t-3）λ=12．再根据t∈[1，

3

2

）∪（

3

2

，5]，求得实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得

OA

=(6，0)，

OC

=(1，

3

)，

OM

=

1

2

OA

=(3，0)，

CM

=(2，-

3

)，

CO

=(-1，-

3

)，
故cos∠OCM=cos＜

CO

，

CM

＞=

CO • CM

| CM |•| CM |

=

7

14

．
（2）设P(t，

3

)，其中1≤t≤5，λ

OP

=(λt，

3

λ)，

OA

-λ

OP

=(6-λt，-

3

λ)，

CM

=(2，-

3

)．
若(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，
则(

OA

-λ

OP

)•

CM

=0，
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=

3

2

，则λ不存在，
若t≠

3

2

，则λ=

12

2t-3

，
∵t∈[1，

3

2

）∪（

3

2

，5]，
故λ∈(-∞，-12]∪[

12

7

，+∞)．

点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．