Question

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求B的大小；
（2）如图，AB=AC，在直线AC的右侧取点D，使得AD=2CD=4．当角D为何值时，四边形ABCD面积最大．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出B的大小，
（2）若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大，根据余弦定理和同角的三角函数的关系以及二次函数的性质可得当D=$\frac{π}{2}$时，四边形ABCD面积最大

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵AB=AC，B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC为等边三角形，
∵若四边形ABCD面积最大，
∴△ADC的面积最大，
设AC=x，在△ADC中，由余弦定理可得x²=AC²=CD²+AD²-2CD•AD•cosD=4+16-2×2×4cosD，
∴cosD=$\frac{20-{x}^{2}}{16}$，
∴sinD=$\frac{\sqrt{1{6}^{2}-（20-{x}^{2}）^{2}}}{16}$，当x²=20时，即x=2$\sqrt{5}$，-（20-x²）²+16²最大，即sinD最大，最大为1，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD•sinD=4sinD，
∴D=$\frac{π}{2}$时，S_△ADC的面积最大，
∴当D=$\frac{π}{2}$时，四边形ABCD面积最大．

点评 本题考查了三角函数的化简和正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题