Question

17．如图，在几何体A₁B₁C₁-ABC中，△ABC为等边三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥CC₁，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1
（Ⅰ）求证：平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）F为线段BB₁上一点，当A₁B₁∥平面ACF时，求$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：取A₁B₁，AB的中点M，N，连接C₁M，CN，MN，只需证明四边形C₁MNC是平行四边形，即可得到C₁M⊥平面A₁ABB₁ ，平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）可得四边形A₁AFB₁是平行四边形，即B₁F=AA₁，由BB₁：AA₁=3：1，得$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：取A₁B₁，AB的中点M，N，连接C₁M，CN，MN，
∴AA₁∥BB₁∥MN，CC₁∥MN；
又因为$MN=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}$，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1
所以$C{C}_{1}=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}=MN$，即四边形C₁MNC是平行四边形，∴C₁M∥CN
又AA₁⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁，
∵平面A₁B₁C₁∩平面A₁ABB₁=AB，又CN⊥AB，∴CN⊥平面A₁ABB₁
∴C₁M⊥平面A₁ABB₁ ，又C₁M平面A₁B₁C₁
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）∵A₁B₁∥平面ACF，A₁B₁?平面A₁ABB₁，面ACF∩平面A₁ABB₁，∴A₁B₁∥AF．
又AA₁∥BB₁，所以四边形A₁AFB₁是平行四边形，∴B₁F=AA₁，因为BB₁：AA₁=3：1．
∴$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$，

点评 本题考查了空间面面平行的判定，线面平行的性质，转化思想，属于中档题，