Question

12．已知函数f（x）=x（a-$\frac{1}{e^x}$），曲线y=f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-e²，+∞）
• B． （-e²，0）
• C． （-$\frac{1}{e^2}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e^2}$，0）

Answer 1

分析 由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故f′（x）=a+（x-1）e^-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e^-x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．

解答 解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，
∴f′（x）=a+（x-1）e^-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e^-x有两个不同的解，
设y=（1-x）e^-x，则y′=（x-2）e^-x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0
∴x=2时，函数取得极小值-e^-2，
∴0＞a＞-e^-2．
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．