Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PB；
（Ⅱ）求PB与面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）求异面直线PB与AC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定和性质可得BC⊥平面PAC，因此BC⊥AE．由于PA⊥⊙O所在的平面，可得∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角，于是∠ACP=45°．
又E是PC中点，可得AE⊥PC．得到AE⊥平面PBC，即可．
（II）由（I）可知：BC⊥面PAC，因此∠BPC即为PB与面PAC所成角．在Rt△BPC中，tan∠BPC=

BC

PC

即可得出．
（III）过B作AC的平行线BD交圆于D．则∠PBD为两异面直线所成的角．在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PBD=

PB2+BD2-PD2

2PB•BD

即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PC⊥BC，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AE．
∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角，
∵PC与⊙O所在的平面成45°角，
∴∠ACP=45°．
∴PA=AC．
∵E是PC中点，
∴AE⊥PC．
又PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC，PB?面PBC，
∴AE⊥PB；
 （Ⅱ）解：由（I）可知：BC⊥面PAC，
∴∠BPC即为PB与面PAC所成角．
在Rt△BPC中，tan∠BPC=

BC

PC

=

2

2

．
（Ⅲ）解：过B作AC的平行线BD交圆于D．则∠PBD为两异面直线所成的角．
由BD=

2

，PB=

6

，PD=2，
在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PBD=

PB2+BD2-PD2

2PB•BD

=

3

3

．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．