Question

三角形ABC中，过中线AD的中点E作直线分别与边AB和AC交于M、N两点，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，则4x+y的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：

分析：根据向量的加法及条件，

AE

既可用

AB

，

ME

表示，又可用

AC

，

NE

表示，所以分别表示完之后便得到

ME

=(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

和

NE

=

1

4

AB

+(

1

4

-y)

AC

，这时候，寻找一下

ME

和

NE

的关系，发现这两个向量共线，根据共线向量基本定理便知道存在实数λ，使得

ME

=λ

NE

，带人并化简可得：(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

=

1

4

AB

+(

1

4

-y)

AB

，很自然的会得到两组等式：

1

4

-x=

1

4

λ和

1

4

=(

1

4

-y)λ，这样便能解出x，y，然后带人4x+y便得到关于λ的式子，可以看成关于λ的函数，求这个函数的最小值即可．

解答： 解：由题意得：

AE

=x

AB

+

ME

=

1

4

(

AB

+

AC

)．
∴

ME

=(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

．
同理，

NE

=(

1

4

-y)

AC

+

1

4

AB

；∵

ME

与

NE

共线，∴存在实数λ，使

ME

=λ

NE

（λ＜0）；
∴(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

=(

1

4

-y)λ

AC

+

1

4

λ

AB

；
∴

1 4 -x= 1 4 λ 1 4 =( 1 4 -y)λ

，∴

x= 1 4 (1-λ) y= 1 4 (1- 1 λ )

；
∴4x+y=1-λ+

1

4

（1-

1

λ

）=(-λ)+

1

(-4λ)

+

5

4

≥1+

5

4

=

9

4

；
∴4x+y的最小值是

9

4

．
故答案为

9

4

．

点评：考查向量的加法运算，共线及共面向量基本定理，基本不等式这几个知识点．求解本题的关键是分别用

AB

，

ME

和

AC

，

NE

来表示向量

AE

，最后用λ分别表示x，y，转化成求关于λ函数的最小值．