Question

某花店每天以每枝10元的价格从农场购进若干支玫瑰花，并开始以每枝20元的价格出售，已知该花店的营业时间为8小时，若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完，则花店对没卖出的玫瑰花以每枝5元的价格低价处理完毕（根据经验，1小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进玫瑰花）．该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量n（单位：枝，n∈N^*）（由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清），制成如下表格（注：x，y∈N^*；视频率为概率）．

前7小时内的需求量n	14	15	16	17
频数	10	20	x	y

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）若花店每天购进16枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进17枝玫瑰花所获得的平均利润大，求x的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）当n=14时，X=130；当n=15时，X=145，当n=16或17时，X=160，由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y元，当n=14时，Y=125；当n=15时，Y=140；当n=16时，Y=155；当n=17时，Y=170元，由此根据E（X）＞E（Y），得到154＞159.5-0.15x，由此以求出x∈[37，69]，x∈N^*．

解答： 解：（Ⅰ）当n=14时，X=14×10+（16-14）×（-5）=130元，…（1分）
当n=15时，X=15×10+（16-15）×（-5）=145元，…（2分）
当n=16或17时，X=160元，…（3分）
所以X的分布列为

X	130	145	160
P	0.1	0.2	0.7

…（4分）
E（X）=130×0.1+145×0.2+160×0.7=154元．…（5分）
（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y元，则
当n=14时，Y=14×10+（17-14）×（-5）=125元，
当n=15时，Y=15×10+（17-15）×（-5）=140元，
当n=16时，Y=16×10+（17-16）×（-5）=155元，
当n=17时，Y=17×10=170元，…（7分）
所以E(Y)=125×0.1+140×0.2+155×

x

100

+170×

70-x

100

=159.5-0.15x，…（9分）
由于E（X）＞E（Y），所以154＞159.5-0.15x，解得x＞

110

3

，…（10分）
又x，y∈N^*，所以x∈[37，69]，x∈N^*．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题．