Question

已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a²+b²+c²的最小值为M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式|x+4|-|x-1|≥M．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=9，从而求得a²+b²+c²的最小值为M．
（Ⅱ）把不等式|x+4|-|x-1|≥3等价转化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=9，
故a²+b²+c² ≥3，即a²+b²+c²的最小值为M=3．
（Ⅱ）由不等式|x+4|-|x-1|≥3，可得

x＜-4 -5≥3

①，或

-4≤x＜1 2x+3≥3

 ②，或

x≥1 5≥3

③．
解①求得 x∈∅，解②求得 0≤x＜1，解③求得x≥1，
综上可得，不等式的解集为[0，+∞）．

点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．