Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x
（Ι）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，求实数a的值．
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（

1

3

，1）上单调递减，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P、Q两点，过线段PQ的中点作X轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，判断C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线是否平行，并证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ι）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值．
（Ⅱ）根据函数单调性和导数之间的关系，解y′≤0恒成立，即可求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求函数的导数，根据导数的几何意义，即可得到结论．

解答： 解：（Ι）令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-

1

2

ax2+2x，h′(x)=

1

x

-ax+2
依题意，h′(

1

2

)=h′(1)，解之，a=-2
（Ⅱ） 依题意，h′(x)=

1

x

-ax+2≤0，?x∈(

1

3

，1)恒成立，
a≥

1

x2

+

2

x

，
∵

1

x

∈(1，3)∴a≥15
（Ⅲ）∵f′(x)=

1

x

，g′(x)=ax-2，
假设有可能平行，
则存在a使f′(

x1+x2

2

)=g′(

x1+x2

2

)，

2

x1+x2

=

a

2

(x1+x2)-2，

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)

2(x1-x2)

x1+x2

=(

1

2

ax12-2x1)-(

1

2

ax22-2x2)lnx₁=

1

2

ax12-2x1，lnx₂=

1

2

ax22-2x2，

2(x1-x2)

x1+x2

=lnx₁-lnx₂=ln

x1

x2

，
不妨设x1＞x2＞0，t=

x1

x2

＞1

2(t-1)

t+1

=lnt存在大于1的实根，
φ（t）=

2(t-1)

t+1

-lntφ′(t)=

-(t-1)2

t(t+1)2

＜0，φ（t）是减函数，
∴φ（t）＜φ（1）=0，这与存在t＞1使φ（t）=0矛盾，
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．

点评：本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．