Question

函数f（x）=（lgx）²-2alg（10x）+a²（1≤x≤10）的最小值为g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，讨论对称轴和区间的关系即可得到结论．

解答： 解：令t=lgx，∵1≤x≤10，
∴t∈[0，1]，
∵f（x）=（lgx）²-2alg（10x）+a²=（lgx）²-2a-2algx+a²，
∴函数等价为y=t²-2at+a²-2a，对称轴为直线t=a，
（1）若a≤0时，y=t²-2at+a²-2a在[0，1]内递增，
当t=0时，函数取得最小值，此时最小值为g（a）=a²-2a．
（2）若0＜a＜1，即时．
当t=a，函数取得最小值g（a）=a²-2a²+a²-2a=-2a，
（3）若a≥1，y=t²-2at+a²-2a在[0，1]内递减，
当t=1，函数取得最小值g（a）=1-2a+a²-2a=a²-4a+1，
 综上，g（a）=

a2-2a， a≤0 -2a， 0＜a＜1 a2-4a+1， a≥1

．

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键．