Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n=

n

2

（a₁+a_n）（n∈N⁺）．
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）求a_n的表达式；
（3）对于任意的正整数n≥2，求证：a₁a₂…a_n＞(2n+1)

n-1

2

．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依次令n=3，4，5可求得a₃，a₄，a₅的值．
（2）由 （1）猜想a_n=2n-1，然后利用数学归纳法证明．
（3）由{a_n}为等差数列，得a₁+a_n+1=a₂+a_n=…=a_n+a₂=a_n+1+a₁．由xy=

(x+y)2

4

-

(x-y)2

4

，知x+y一定时，要使xy最小，则|x-y|最大．由此能证明a1a2…an＞(2n+1)

n-1

2

．

解答： （1）解：∵a₁=1，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n=

n

2

（a₁+a_n）（n∈N⁺）．
∴n=3时，4+a₃=

3

2

（1+a₃），解得a₃=5；
n=4时，9+a₄=

4

2

(1+a4)，解得a₄=7；
n=5时，16+a₅=

5

2

(1+a5)，解得a₅=9．
（2）解：由 （1）猜想a_n=2n-1，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1，2时结论显然成立．
②假设n=k（k∈N，k≥2）时结论成立，即a_k=2k-1，
则ak+1=Sk+1-Sk=

k+1

2

(1+ak+1)-

k

2

(1+ak)=

1

2

+

k+1

2

ak+1-

k(2k-1)

2

⇒(k-1)ak+1=2k2-k-1⇒ak+1=2k+1，
故当n=k+1时结论成立．
综上知结论成立．
（3）证明：由 （2）知{a_n}为等差数列，
故a₁+a_n+1=a₂+a_n=…=a_n+a₂=a_n+1+a₁．
由xy=

(x+y)2

4

-

(x-y)2

4

，知x+y一定时，要使xy最小，则|x-y|最大．
∵|a₁-a_n+1|＞|a_k-a_n+2-k|（2≤k≤n），
∴(a1a2…an+1)2=(a1an+1)(a2an)…(an+1a1)＞(a1an+1)n+1，
∴a1a2…an+1＞(a1an+1)

n+1

2

=(2n+1)

n+1

2

，
从而a1a2…an＞(2n+1)

n-1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．