Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、PA的中点．
（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由等边三角形性质得DE⊥BC，由平行线性质得DE⊥AD，由线面垂直得PD⊥DE，由此能证明平面DEF⊥平面PAD．
（II）建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD，依题BD=2，
在正三角形BDC中，∵BE=EC，∴DE⊥BC，
又AD∥BC，∴DE⊥AD．…（2分）
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，AD∩PD=D，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PAD．…（4分）
（II）解：结合（Ⅰ），建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
平面PDE的一个法向量为

n1

=(1，0，0)，…（6分）
同时A（2，0，0），B（1，

3

，0），P（0，0，2），
则

PA

=（2，0，-2），

PB

=（1，

3

，-2），
设平面PAB的法向量

n2

=(x，y，z)，
则

n2 • PA =0 n2 • PB =0

，于是

2x-2z=0 x+ 3 y-2z=0

，即

x=z y= 1 3 z

，
取z=

3

得

n2

=(

3

，1，

3

)，…（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

1• 7

，…（11分）
从而平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值

2 7

7

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．