Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求证：AP⊥BM；
（Ⅱ）求三棱锥ABEM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）取AM的中点N，连接PN，NB，在NB上取点F，使NF=

1

3

NB，连接EF，证明EF⊥平面ABM，EF=

2

3

，即可求三棱锥ABEM的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=

2

，
∴AB²=AM²+BM²，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）解：取AM的中点N，连接PN，NB，则PN⊥平面ABM，且PN=

2

2

，
在NB上取点F，使NF=

1

3

NB，连接EF，
∵PE=

1

3

PB，
∴EF∥PN，
∴EF⊥平面ABM，EF=

2

3

．
∵S_△ABM=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴V_A-BEM=V_E-ABM=

1

3

×1×

2

3

=

2

9

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥ABEM的体积，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法是关键．