Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c（a，c∈R）的图象在x=1处的切线斜率为4．
（Ⅰ）若函数f（x）图象过点（0，-2），求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函数g（x）在x∈[-2，3]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数f′（x），由f′（1）=4，求出a，同时求出c，令f′（x）大于0，小于0，求出单调区间，求出最大值；
（Ⅱ）求出导数g′（x），由条件可得x²+x+c-1≥0在[-2，3]上恒成立，再由参数分离，求出二次函数的最值，即可得到c的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c（a，c∈R），得 f′（x）=3x²+2ax-1，
由题意知，f′（1）=3+2a-1=4，a=1．　　　
函数f（x）图象过点（0，-2），∴c=-2，
∴f（x）=x³+x²-x-2，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
f（x）在（-∞，-1），（

1

3

，+∞）上为增函数，在（-1，

1

3

）上为减函数，
∴f（x）在x=-1时取得最大值，且最大值为-1；　　　
（Ⅱ）函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（x²-x+c）•e^x，
有g′（x）=（2x-1）•e^x+（x²-x+c）•e^x=（x²+x+c-1）•e^x，
∵函数g（x）在区间[-2，3]上单调递增，
等价于x²+x+c-1≥0在[-2，3]上恒成立，∴c-1≥（-x²-x）_max，
而当x∈[-2，3]时，（-x²-x）_max=

1

4

，此时x=-

1

2

，
∴c-1≥

1

4

即c≥

5

4

，
∴c的取值范围是：[

5

4

，+∞）．

点评：本题考查导数的综合运用：求切线方程和求单调区间、求最值，考查参数分离、二次函数在给定区间上的最值，是一道中档题．