Question

9．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{a_n^2-1}$（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和T_n，求T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用已知条件计算可知首项、公差，进而可得通项公式及前n项和公式；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）×2=n²+2n；
（2）由（1）可知：a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{{{{（2n+1）}^2}-1}}=\frac{1}{4}•\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_{2016}}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2016+1}）=\frac{504}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．